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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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5. Para las siguientes funciones, pruebe que el gráfico corta al eje xx sólo una vez.
e) f(x)=3x+1−2,x>0f(x)=\frac{3}{\sqrt{x}+1}-2, x>0

Respuesta

De nuevo, misma idea que venimos usando en todos los items de este problema. Primero veamos como se comporta la función en los extremos del dominio:

lim⁡x→+∞3x+1−2=−2\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{x}+1} - 2 = -2 lim⁡x→0+3x+1−2=1\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{\sqrt{x}+1} - 2 = 1

Ahora calculamos la derivada de ff

f′(x)=−3⋅12x(x+1)2f'(x) = \frac{-3 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{(\sqrt{x} +1)^2}

Ahora, veamos que f′(x)f'(x) es siempre negativa (numerador siempre negativo y denominador siempre positivo). Eso nos dice que la función ff es siempre decreciente. Entonces, tenemos una función continua, monótona creciente, que cuando x→0+x \to 0^+ vale un número positivo y cuando x→∞x \to \infty vale un número negativo. Por lo tanto, a esta función no le queda otra opción que haber cortado el eje xx una única vez.
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